多维随机变量及其分布

第三章：多维随机变量及其分布。

本章主要讨论两个或两个以上的随机变量。

二维随机变量

二维随机变量 $(X, Y)$ 看作整体进行研究。

「联合分布函数」

定义二元函数：

$$F(x, y)=P\{(X\leq x)\cap (Y\leq y)\} \xlongequal[]{\text{written as}}P\{X\leq x, Y\leq y\}$$

为二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数，或随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数。

一些性质：

• 关于 $x$ 和 $y$ 单调不减。
• $0\leq F(x, y)\leq 1$.
• $F(x, y)$ 关于 $x$ 右连续，关于 $y$ 右连续。
• 对于任意 $(x_1, y_1)$, $(x2,y2)$, $x_1<x_2$, $y_1<y_2$，有：

$$F(x_2, y_2)-F(x_1, y_2)-F(x_2, y_1)+F(x_1, y_1)=P\{x_1<X\leq x_2, y_1<Y\leq y_2\}\geq 0$$

「联合概率密度」

$$F(x, y)=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x}f(u, v)\text{d}u\text{d}v$$

其中 $f(x, y)$ 称为 $(X, Y)$ 的概率密度，或 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度。

一些性质：

• $f(x,y)\geq 0$

• $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\text{d}x\text{d}y=F(\infty,\infty)=1$

• $P\{(X, Y)\in G\}=\iint\limits_{G}f(x, y)\text{d}x\text{d}y$.

• 若在 $(x, y)$ 处连续，则：

  $$\frac{\partial^2F(x, y)}{\partial x\partial y}=f(x, y)$$

  用处是，可推知：

  $$P\{x<X\leq x+\Delta x, y<Y\leq y+\Delta y\}\simeq f(x, y)\Delta x\Delta y$$

边缘分布

「边缘分布函数」

设 $(X, Y)$ 的分布函数为 $F(x, y)$，则 $X$ 的边缘分布函数为：

$$F_X(x)=P\{X\leq x\}=\lim_{y\to \infty}F(x, y)=F(x, \infty)$$

即：

$$F_X(x)=F(x, \infty),\quad F_{Y}(y)=F(\infty,y)$$

「边缘概率密度」

$$f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x, y)\text{d}y$$ $$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x, y)\text{d}x$$

二维正态分布

不是考察重点。

条件分布

讨论二维随机变量的条件概率分布。

离散型随机变量

离散型很好理解，跟普通的条件概率很像。

「条件分布律」

对于二维离散型随机变量 $(X, Y)$，称：

$$P\{X=x_i \mid Y=y_j \}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{p\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},\quad i=1,2\cdots$$

为在 $Y=y_j$ 条件下随机变量 $X$ 的条件分布律。

连续型随机变量

对任意 $x,y$ 都有 $P\{X=x\}=0,P\{Y=y\}=0$，所以不能直接用条件概率公式，而是用极限定义如下：

设 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)$，$(X, Y)$ 关于 $Y$ 的边缘密度函数为 $f_Y(y)$，则有条件概率：

$$P\{X\leq x\mid y<Y\leq y+\epsilon\} =\frac{P\{X\leq x, y<Y\leq y+\epsilon\}}{P\{y<Y\leq y+\epsilon\}}=\frac{\int_{-\infty}^{x}[\int_{y}^{y+\epsilon}f(x,y)\text{d}y]\text{d}x}{\int_{y}^{y+\epsilon}f_{Y}(y)\text{d}y}$$

当 $\epsilon \rightarrow 0$ 时，可推得连续性随机变量的相关定义式，对于二维连续型随机变量 $(X, Y)$，称：

「条件概率分布函数」

$$F_{x\mid y}(x\mid y)=P\{X\leq x\mid Y=y\}=\int_{-\infty}^{y}\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}\text{d}x$$

「条件概率密度」

$$f_{x\mid y}(x\mid y)=\frac{f(x ,y)}{f_{Y}(y)}$$

例题

P88：设随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为：

$$f(x, y)=\left\{\begin{array}{rl} 1, & |y|<x, 0<x<1 \\ 0, & \text{Otherwise} \end{array}\right.$$

求条件概率密度 $f_{Y\mid X}(y\mid x)$，$f_{X\mid Y}(x\mid y)$.

先求 $f_X$ 和 $f_Y$，

$$f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x, y)\text{d}y=\int_{-x}^{x}1\text{d}y=2x\quad (0<x<1)$$ $$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x, y)\text{d}x=\int_{|y|}^{1}1\text{d}x=1-|y|\quad (|y|<1)$$

之后求条件概率密度，

$$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f(x, y)}{f_{X}(x)}=\frac{1}{2x},\quad (|y|<x, 0<x<1)$$ $$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}=\frac{1}{1-|y|},\quad (|y|<x>1)$$

独立性

「定义」

$$P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}P\{Y\leq y\}$$

等价于：

$$F(x, y)=F_X(x)F_Y(y)$$

**「连续型随机变量」**下式处处成立

$$f(x, y)=f_X(x)f_Y(y)$$

**「离散型随机变量」**下式处处成立

$$P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\}$$

多个随机变量的分布

和的分布

即 $Z=X+Y$ 的分布。

设 $(X, Y)$ 是二维连续性随机变量，则 $Z=X+Y$ 仍为连续性随机变量。

「分布函数」

$$F_{Z}(z)=P\{Z\leq z\}=\iint\limits_{x+y\leq z}f(x, y)\text{d}x\text{d}y$$

画图，转化为累次积分：

$$\begin{aligned} F_{Z}(z) &=\int_{-\infty}^{\infty}\text{d}y\int_{-\infty}^{z-y}f(x,y)\text{d}x\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\text{d}y\int_{-\infty}^{z}f(u-y,y)\text{d}u\\ &=\int_{-\infty}^{z}[\int_{-\infty}^{\infty}f(u-y,y)\text{d}y]\text{d}u\\ \end{aligned}$$

「概率密度」

$$f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(z-y,y)\text{d}y$$

或同理可得：

$$f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)\text{d}x$$

「卷积公式」

若 $X$ 和 $Y$ 独立，则 $f(x, y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)$，代入得到：

$$f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(z-y)f_{Y}(y)\text{d}y$$

和

$$f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_{Y}(z-x)\text{d}x$$

称为 $f_{X}$ 和 $f_{Y}$ 的卷积公式，记为 $f_{X}\ast f_{Y}$，是重要公式。

商的分布、积的分布

$$f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\mid x \mid f(x,xz)\text{d}x$$ $$f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\mid x \mid} f(x,\frac{z}{x})\text{d}x$$

若 $X$ 和 $Y$ 独立，也可以用上述类似的方式进行拆为两个函数的乘积，把 $f(x, y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$ 代入，

$$f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\mid x \mid f_X(x)\cdot f_Y(xz)\text{d}x$$ $$f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\mid x \mid} f_X(x)\cdot f_Y(\frac{z}{x})\text{d}x$$

Min / Max 分布

「二元情形」

先考虑二元情形 $M=\max\{X, Y\}$ 及 $N=\min\{X, Y\}$ 的分布函数，其中 $X, Y$ 独立。

由于 $M$ 是最大值，$M\leq z$ 等价于 $X$ 和 $Y$ 都 $\leq z$，固有：

$$F_{\max}(z)=P\{M\leq z\}=P\{X\leq z\}P\{Y\leq z\}=F_{X}(z)\cdot F_{Y}(z)$$

类似可得 $N=\min\{X, Y\}$ 最小值的分布函数：

$$F_{\min}(z)=1-P\{X>z,Y>z\}=1-[1-F_{X}(z)][1-F_{Y}(z)]$$

「多元情形」

下面推广到 $n$ 个独立随机变量的情况。

对于 $n$ 个相互独立的随机变量 $X1, X2, \cdots, X_n$，有：

$$F_{\max}(z)=F_{X_1}(z)\cdot F_{X_2}(z)\cdots F_{X_n}(z).$$ $$F_{\min}(z)=1-[1-F_{X_1}(z)]\cdot [1-F_{X_2}(z)]\cdots [1-F_{X_n}(z)].$$

Rayleigh 瑞利分布

若 $(X,Y)\sim N(0,0,1,1,0)$，求 $Z=\sqrt{X^2+Y^2}$ 的分布。

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$$

「分布函数」

$$F_Z(z)=P\{x^2+y^2\leq z^2\}=\iint\limits_{D}f(x, y)\text{d}x\text{dy}$$

计算积分：

$$\begin{aligned} F_Z(z)&=\int_{0}^{2\pi}\text{d}\theta\int_{0}^{z}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\text{d}r\\ &=\int_{0}^{2\pi}\text{d}\theta\int_{0}^{z}\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{r^2}{2}}r\text{d}r \\ &=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{z^2}{2}}(1-e^{-\frac{z^2}{2}})\text{d}\theta\\ &=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{z^2}{2}}(1-e^{-\frac{z^2}{2}})2\pi\\ &=1-e^{-\frac{z^2}{2}}\\ \end{aligned}$$

即：

$$F_Z(z)=\left\{ \begin{array}{ll} 1-e^{-\frac{z^2}{2}}, &z>0\\ 0 ,&z<0 \end{array} \right.$$

**「概率密度」**对分布函数求导，得：

$$f_Z(z)=\left\{ \begin{array}{ll} ze^{-\frac{z^2}{2}}, &z>0\\ 0 ,&z<0 \end{array} \right.$$

例题

P89：设 $X$ 和 $Y$ 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：

$$f_X(x)=1,\quad0\leq x\leq1$$ $$f_Y(y)=e^{-y},\quad y>0$$

求随机变量 $Z=X+Y$ 的概率密度。

首先要画图，并且考虑 $Z$ 的取值，需满足：

$$\left\{\begin{array}{l} y\leq z\leq y+1,\\ y>0 \end{array}\right.$$

图形为：

利用公式积分：

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(z-y)f_Y(y)\text{d}y$$ $$f_Z(z)=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \int_{0}^{z}1\cdot e^{-y}\text{d}y=1-e^{-z}, &0<z<1\\ \displaystyle \int_{z-1}^{z}1\cdot e^{-y}\text{d}y=(e-1)e^{-z}, &z\geq 1\\ 0,&\text{Otherwise} \end{array}\right.$$